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面白い確率の問題

あれ数学カテゴリ作ってなかったっけか……
有名な早稲田の問題ですが

ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。そして、残りのカードをよく切ってから3枚抜き出したところ、3枚ともダイヤであった。このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか

皆さん、答えいくつだと思いますか?






1/4?

いえ、10/49です


これ、一瞬私も騙されたけど、よくよく考えれば単純な問題なのよね。計算で導く方法あるけど、頭で考えた方が面白いし早い

まず、なんで1/4って考えてしまったのか?
これは簡単な話で、『最初の試行の時点で52枚の中から1枚引いて箱に入れてるんだから、その後何をしようとも一番最初の時点で確率は決まっている(=1/4である)』という話ですよね
でもこれには穴があって、これが成立するのは『カードを見てダイヤである事を確認していたのなら、1/4で正解』だけど、問題では『カードを見ていない』わけです
更に言うなら、カードをしまった後の事を書く以前に確率を求めるのなら、1/4なんですけど、実は後で行う事って確実に以前の試行に影響する場合があるんだよねぇ


考え方の一つとして、カードを開く順番を考えてみればいい
箱にしまったカードをそのままにしといて、最後に引いた3枚のカードがダイヤである事を確認した時点で、確率を考えてみよう
ダイヤ3枚ひいてます。残り山札+箱の中のカードは計49枚です。この49枚の中には、ダイヤはいくつありますか? 10枚です。なら、箱の中のカードがダイヤである確率はどうなる? 分母=ダイヤと確認した3枚『以外の』カード、分子=ダイヤと確認した3枚『以外のすべてのうちダイヤであるもの』。なので10/49ですね

この問題の難しい所は、計算とかじゃなく、考え方です。1/4と考えてしまう場合、自分で勝手に物語の過程を作ってしまっているわけです。1/4という考えでは、箱の中にしまっているカードがダイヤである事を前提にしている=箱にしまう前からダイヤである事が確定してしまっている、わけです。その事実を仮定として置いてしまっているので、その後何をしようとも確率は変わらないと言う事になってしまう


後で行う試行というのはそれ以前の物に影響を及ぼすわけです
最初の時点では確かに1/4だった。でも、その後の試行次第では確率はどんどん変わる
わかりやすく言うなら、『不明瞭だったものが少しずつ明瞭になっていく』わけです。最初から明瞭である事を頭に置いていると、こういう勘違いをしやすい

最初に引いた時点では、52枚の中からダイヤかもしれない率は確かに1/4(13/52)。けど、本当にそれがダイヤかはわからない。では、それがダイヤであると確かめるために、更にカードを引いていく。今回の場合、更に引いた3枚がダイヤであった事で、新たに情報を得た
あれよ。探偵と同じ。犯人が誰か考える時、現場からヒントを得て特定していくような感じ

極論言えばね、箱にしまったあとで、カードを26枚引きましたと。それは全部クローバーとスペードでしたと。じゃあ箱の中のカードがダイヤの確率はいくつなの? と考えた時、山札+箱の中のカードというのはハートとダイヤでしか構成されていないから、また確率かわるよね
まぁこの辺りで悩んでる人はいないと思うけど……


悩んでる所はここじゃないかなと思うのは

山札がある―――――カードを1枚引いて箱に入れる―――――更に3枚引く――――
                      ↑                             ↑
                この時点での確率                この時点での確率

では、求めている確率が全く違うということです
問題的に考えれば、箱にしまう1枚を引くのも後で引く3枚も順番関係ないというか、どうでもいいわけですが、ストーリーの流れを考えると順序を適当にするのはきちんと数学わかってる人でないと難しいかもしれませんね
解答を得る為に情報を集め、集まった情報を分析し解答を求めていく。そういう感じになっているわけですねぇ
なんかモンティホールジレンマを思い出しますね(以前このブログでも取り上げましたが)

え、覚えてないって?
しょうがないにゃー




今ここに、A,B,Cの3枚のカードがあります。1枚はあたりで、他の2枚ははずれです。あなたはこの3枚の中から1枚選ぶことができます。あたれば、なんか商品がもらえます。ちなみに私は、この中のどれがあたりかを知っています。いま、あなたはこの中からどれか選ぶことができます
あなたはAを選びました
実はですね、Cははずれだったんですよ。ここで、あなたはカードを選びなおす事ができます。どうしますか?

カードを選びなおす方がお得か、選びなおさない方がお得か、どっちでしょうか?

答えは、選びなおす方がアタリを引く確率が高いです


最初の時点でアタリが引ける確率は1/3。所が、途中で私がハズレのカードを1枚教えたものですから、残りが2枚になってしまいました。なら、このどちらかから選ぶんだから、確率は1/2で、どっち選んでも確率は変わらない……

ではないです

最初の時点でアタリが引けるのは1/3。では、選んでない方がアタリである確率は……2/3。それで、選んでない方のカードの一つがハズレであることを知ったわけだけど、それでも『自分が選んだ以外があたりである確率』は変わらないわけで。なので、選びなおした方がいいわけです



で、このどちらにも大事になってくるのは『問題の流れ』です
モンティホールジレンマにしたって、その場その場で判断する確率を考えれば1/2で間違いないわけです
問題の流れをきちんと組み込め、どの時点のどの数字を求めなければならないか、これをきちんと理解して問題に取り組めるかが大事

そう思うと、こういう問題っていうのは、難解な知識が無くても一般常識レベルで考えて悩めるから面白い




*私の解説なんか間違ってるかもしれないけどw うまく説明できてない可能性が……

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